Transformata Fouriera przenosi obraz do dziedziny częstotliwości. Intuicyjną definicję częstotliwości obrazu oprzeć można na kontrastach zawartych w rozpatrywanym obrazie. Krawędzie zawartych w obrazie powierzchni o jednolitej wartości koloru (skali szarości), znajdujących się na tle o odcieniu różnym od odcienia tych powierzchni to oczywiście obszary, które w obrazie transformaty Fouriera będą maskowane przez wysokie częstotliwości. Można zatem wyobrazić sobie, że usunięcie składowych z obrazu określających właśnie obszary o wysokiej częstotliwości pozwoli na rozmycie, uciąglenie obrazu.
Transformata Fouriera dla obrazów ze względu na złożoność obliczeniową nie jest powszechnie wykorzystywana w systemach wizyjnych pracujących w trybie on-line, znajduje ona jednak pewne specyficzne zastosowania do przetwarzania obrazów cyfrowych w trybie off-line. Zaawansowanym przykładem wykorzystania tej metody analizy obrazu jest badanie ukształtowania powierzchni oceanicznej na podstawie zdjęć satelitarnych. Więcej na ten temat można znaleźć w pod adresem: http://haydn.cbk.waw.pl/~kosek/strona2/kosek3.html. W przywołanym opracowaniu autorzy definiują również podstawy matematyczne transformaty Fouriera dla obrazów.

Obraz w dziedzinie transformacji Fouriera określany jest mianem F-obrazu. Piksele F-obrazu nazywane są F-pikselami. Dwuwymiarowa transformata Fouriera może być przeprowadzona jako transformata jednowymiarowa najpierw wierszami, następnie kolumnami lub najpierw kolumnami, następnie wierszami. W obu przypadkach wynik będzie identyczny.
Dysponując algorytmami jednowymiarowymi FFT oraz IFFT można zatem w łatwy sposób utworzyć odpowiedni algorytm transformaty dwuwymiarowej. Algorytm obliczania FFT2 zaimplementowany w przyborniku Image Processing Toolbox programu Matlab jest następujący:

B= fft(fft(A).').';

gdzie: A - obraz wejściowy, B - obraz wynikowy.

Przykład:

load imdemos saturn2
imshow(saturn2)

Rys.1 Przykładowy obraz

B = fftshift(fft2(saturn2));
imshow(log(abs(B)),[]);
colormap(jet(64));

Rys.2 Przesunięty moduł transformaty Fouriera obrazu z rys.1

Polecenie fftshift przesuwa składową stałą wyniku transformaty z obrazu wejściowego do centrum F-obrazu. Poniżej przedstawiono F-obraz uzyskany przy wykonaniu powyższych instrukcji bez przesunięcia składowej stałej.

Rys.3 Moduł transformaty Fouriera obrazu z rys.1
bez przesunięcia

Polecenie imshow(log(abs(B)),[]) wyświetla zlogarytmowaną wartość modułu transformaty.
Logarytmowanie ma na celu rozciągnięcie wartości modułu transformaty do zakresu umożliwiającego wygodną wizualizację wyniku.

W programie FIM zaimplementowano opcję wyboru rodzaju wizualizacji wyników obliczonej transformaty Fouriera dla zadanego obrazu. Obojętnie w jakiej postaci wynik transformaty jest przedstawiany, zapisywany jest on zawsze pod tą samą postacią, zatem sposób przedstawiania wyniku transformaty nie ma wpływu na wynik operacji ifft2, czy operacji filtracji obrazu w dziedzinie częstotliwościowej (opcja FIM filtracja).

Poniżej przedstawiono przykłady zastosowania filtracji w dziedzinie częstotliwości do usuwania pewnych wybranych typów szumów występujących w obrazach cyfrowych. Wszystkie zamieszczone obrazy zostały wygenerowane w programie FIM. 

1. Obraz oryginalny o rozdzielczości 128 na 128. 

Rys.4 Przykładowy obraz - Lena

2. Obraz oryginalny do którego dodany został szum sinusoidalny wygenerowany za pomocą opcji 'Szum' programu FIM wg zawartego poniżej przepisu (w odpowiedniej pętli przez wszystkie piksele obrazu):

X(i,j)= X(i,j) + sin(0.5* i) + sin (0.2 * j);

gdzie: X(i,j) - piksel obrazu o współrzędnych i, j.

Rys.5 Obraz z rys.4 zniekształcony szumem

3. Moduł przesuniętej transformaty obrazu zaszumionego przedstawia się następująco:

Rys.6 F-obraz

po zbliżeniu centrum obrazu (rysunek poniżej) widać wyraźnie jasne punkty rozmieszczone symetrycznie względem punktu środka F-obrazu. Rozjaśnienia te pochodzą od wprowadzonego szumu sinusoidalnego. Jak można zauważyć na rysunku częstotliwość szumu przyłożonego wzdłuż wysokości obrazu jest większa od szumu przyłożonego wzdłuż szerokości (odległość jasnych punktów od centrum jest większa w pionie niż w poziomie).

Rys.7

4. Filtracja idealnym filtrem komplementarnym w dziedzinie częstotliwości (przy zastosowaniu opcji FIM filtracja).

Filtracja polega na usunięciu składowych F-obrazu przenoszących informację o szumie. W tym przypadku składowe te zostały powyżej zidentyfikowane a po ich usunięciu F-obraz wygląda następująco (usunięta została jedna ze składowych szumu).

Rys.8 F-obraz z częściowo usuniętą składową poziomą szumu

Po odwróceniu F-obrazu funkcją ifft2 otrzymuje się: 

Rys.9

Usunięta została zatem składowa pozioma szumu.

Po zastosowaniu podobnej procedury dla składowej poziomej otrzymuje się:

Rys.10

Celem całkowitego usunięcia szumu dokonano usunięcia wszystkich składowych F-obrazu przenoszących informację o tym szumie. Postać F-obrazu po usunięciu szumu wygląda następująco:

Rys.11

Tak natomiast wygląda wynik przeprowadzonej filtracji:

Rys.12 Wynik przeprowadzenia filtracji w dziedzinie F-obrazu
na zaszumionym obrazie z rys.5