wstecz | dalej  

 Archiwum Process Control Club 2002, poz.19  
 
 


Przykład modelowania zjawiska tarcia

 

Grzegorz Kozoduj
student IV roku Politechniki Koszalińskiej
specjalność: Układy Automatyki

 

Streszczenie - W opracowaniu podano metodykę modelowania tarcia tocznego i suchego. Prezentowane podejście pomimo znacznych uproszczeń prawidłowo oddaje charakterystyczne cechy rozpatrywanych zjawisk. Wszystkie rozważania przeprowadzone zostały dla wybranego prostego obiektu.


 SPIS TREŚCI

1. Wstęp
2. Opis rozpatrywanego obiektu
3. Założenia dotyczące modelu fizycznego
4. Model matematyczny
5. Model komputerowy
6. Wnioski
Literatura


1. Wstęp

    Proces tarcia jako obiekt modelowania jest wyjątkowo trudny ponieważ w modelu fizycznym tego procesu występuje wiele różnorodnych zjawisk, na dodatek w stanach nieustalonych. Do zjawisk tych należą m.in. odkształcalność ciał (w tym odkształcenia sprężyste i plastyczne), niszczenie mikronierówności (w szczególności w etapie docierania), reakcje chemiczne (spalanie, utlenianie), reakcje termodynamiczne, zjawiska hydrodynamiczne w smarze. Ponadto, ze względu na  niedostępność pomiarową w skali mikro, szczególną trudność sprawiają także badania eksperymentalne tego procesu.
    W dalszej części pracy prezentowany jest przykład modelowania tarcia tocznego i suchego. Tworzony model pomimo znacznych uproszczeń prawidłowo oddaje charakterystyczne cechy rozpatrywanych zjawisk. Wszystkie rozważania przeprowadzone zostały dla wybranego prostego obiektu i dają się z łatwością uogólnić na inne obiekty z występującym tarciem suchym, tocznym.


2. Opis rozpatrywanego obiektu

    Badany obiekt składa się z prostopadłościennego suwaka o masie m1, na którym umieszczony jest walec o masie m2 i promieniu R. Do suwaka, znajdującego się na poziomym podłożu, przyłożona jest siła P (rys. 2.1).


Rys. 2.1. Obiekt poddany modelowaniu.

    Celem modelowania jest utworzenie modelu symulacyjnego, który posłuży do wykreślenia zależności czasowych zmiany położenia mas - x1(t), x2(t) pod wpływem działania siły P (dla określonych wartości współczynników tarcia zastosowanych materiałów, określonego wpływu oporów powietrza itd.) 


3. Założenia dotyczące modelu fizycznego

W modelu uwzględniono następujące zjawiska fizyczne:
    - ruch m1 pod wpływem siły P,
    - ruch m2 pod wpływem oporów powietrza, 
    - tarcie suche,
    - tarcie toczne,
    - opory powietrza,
    - siły przylegania,
    - siłę grawitacji,
    - wydzielanie ciepła w wyniku tarcia.

Pominięto natomiast:
    - skupioną masę suwaka i walca,
    - sztywność układu,
    - zjawiska występujące na krawędziach elementów,
    - siły przylegania,

    - wpływ temperatury na siłę tarcia.

Dodatkowe założenia:
    - przyspieszenie ziemskie wynosi 10 [m/s2],
    - suwak przemieszcza się po poziomej nawierzchni,
    - suwak, walec i podłoże mają idealnie gładkie powierzchnie,
    - siła pochodząca od oporów powietrza jest proporcjonalna do kwadratu prędkości,
    - suwak, walec i podłoże wykonane są z tego samego materiału.


4. Model matematyczny

Bilans sił dla suwaka


Rys. 4.1. Rozkład sił poziomych dla suwaka.

W wyniku zsumowania wszystkich sił działających w kierunku zmiennej x1 otrzymuje się:

(1)

gdzie:

  P - zewnętrzna siła przyłożona do układu:

(2)

  A1 - siła bezwładności suwaka wyrażona wzorem:

(3)

            mz - masa całego obiektu zależna od wartości siły oporu H2:

(4)

            g - przyspieszenie ziemskie,
            - współczynnik tarcia.
 
  T - siła tarcia na styku suwak-podłoże wyrażana wzorem:

(5)

  H1 - siła od oporów powietrza modelowana zgodnie ze wcześniejszymi założeniami (zobacz: Założenia dotyczące modelu fizycznego) jako:

(6)

     Ponieważ kierunek siły H1 jest zawsze przeciwny do prędkości, uzupełniamy powyższą zależność odpowiednim operatorem znaku:

(7)

  H2 - siła od oporów powietrza pochodząca od prędkości walca:

(8)

 
 
    Po przekształceniu otrzymamy zależność na przyspieszenie suwaka:

(9)

 
Bilans sił dla walca


Rys. 4.2. Rozkład sił poziomych dla walca.

W wyniku zsumowania wszystkich sił działających w kierunku zmiennej x2 otrzymuje się:

(10)

gdzie:

  A2 - siła bezwładności walca:

(11)

  T2 - siła tarcia na styku walec-suwak wyrażona wzorem:

(12)

 
 
    Po przekształceniu otrzymujemy zależność na przyspieszenie walca:

(13)

oraz przyspieszenie kątowe: 

(14)

gdzie: 
   - moment bezwładności walca:

(15)

  - współczynnik tarcia tocznego [m],
   - kąt obrotu walca wokół jego osi podłużnej [rad]. 
 
 
Położenie właściwe walca względem suwaka:

(16)

Położenie walca względem podłoża:

(17)

 

5. Model komputerowy

     Model komputerowy wykonany został w programie Matlab wersja 5.2 z wykorzystaniem Simulinka 2.0.

ściągnij
tarcie.mdl (40kB) - model symulacyjny
 

ściągnij
start.m (5kB) - plik skryptowy uruchamiający symulację


Poniżej prezentowane są przykładowe wykresy otrzymane w wyniku działania skryptu start.m dla wybranych parametrów modelu i założonych wartości początkowych.


 

Rys. 5.1. Wyznaczane względem podłoża zmiany położenia suwaka i walca
na wskutek działania siły P.

 


Rys. 5.2. Nieliniowy obszar zmian położenia suwaka i walca
(położenie walca wyznaczane względem suwaka).

   W wyniku działania skryptu start.m wyznaczane są ponadto zależności zmian położenia obu mas na wskutek działania siły P w układzie bez tłumienia, badany  jest wpływ zastosowanych materiałów (określonych przez wartości współczynników tarcia) oraz wpływ stosunku masy walca do masy suwaka.
Wartości współczynników tarcia dla różnych materiałów zostały zaczerpnięte z literatury [3]. Podawane w różnych opracowaniach dane na temat współczynników tarcia, które charakteryzują dany materiał, są jednak mało dokładne i niejednoznaczne. Przykładowo dla pary drewno - drewno współczynnik tarcia tocznego raz wynosi 0,8 cm [2, s. 159], innym razem 0,05cm [3, s.123]. 


6. Wnioski

    Opisany w opracowaniu model tarcia oparty jest na wielu uproszczeniach jednak z dobrym przybliżeniem oddaje cechy fizyczne rozpatrywanego zjawiska. Dalszym, zaawansowanym etapem rozszerzenia tego modelu mogłaby być próba opisu zależności określających wpływ temperatury na siłę tarcia oraz uwzględnienie zjawisk występujących na krawędziach elementów. Opisane w pracy podejście do modelowania zjawiska tarcia, rozpatrywane na wybranym obiekcie, można z powodzeniem wykorzystać do modelowania innych obiektów z występującym tarciem.

Otrzymane wyniki symulacyjne nic nowego nie odkrywają i potwierdzają od dawna znane prawa nauki a co za tym idzie potwierdzają także prawidłowość zastosowanego modelowania badanego obiektu i zjawisk.


Literatura

[1]    Tarnowski W., Bartkiewicz S.: Modelowanie matematyczne i symulacja komputerowa... WUPK Koszalin 2000.
[2]    Jarzebowska E., Jarzębowski W.: Mechanika ogólna. PWN Warszawa 2000.
[3]    Osiński Z.: Mechanika ogólna-1. PWN Warszawa 1997.
[4] Mrozek Z., Mrozek B.: Matlab 5.x Simulink 2.x. PLJ Warszawa 1998.
[5] Poradnik mechanika. t. II. WNT Warszawa 1985.
[6] Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu układów regulacji. WNT Warszawa 1993.
[7] Tarnowski W.: Komputerowy system symulacji Simulink z wprowadzeniem do Matlab'a. Koszalin 1996.