|
Synteza regulatora PID z wykorzystaniem
Nonlinear Control Design Blockset
pakietu Matlab/Simulink
Marcin
Maślanka
student V roku, spec. Automatyka i
Metrologia, IMiR, AGH
Streszczenie
- Biblioteka
NCD pakietu Matlab/Simulink umożliwia dobór optymalnych
parametrów regulatora lub innych poszukiwanych parametrów układu
przy wykorzystaniu wbudowanych algorytmów optymalizacji. Na
wybranym przykładzie układu ciągłego z opóźnieniem
podano metodykę syntezy regulatora PID w tym środowisku.
Wykorzystano pakiet Matlab 5.3, Simulink 3.0, NCD Blockset
1.1.3.
SPIS
TREŚCI
Wstęp
1. Opis modelu rozpatrywanego obiektu, cel
regulacji
2. Synteza regulatora przy wykorzystaniu NCD
2.1 Model w środowisku
Matlab/Simulink
2.2 Parametry symulacji
2.3 Przebieg optymalizacji
i uzyskane wyniki
3. Podsumowanie
Literatura
Wstęp
Metodyka syntezy
regulatora PID przy wykorzystaniu NCD Blockset podana zostanie na
przykładzie wybranego układu ciągłego z opóźnieniem.
Korekty układów z opóźnieniem można z powodzeniem
dokonywać regulatorami konwencjonalnymi. Wśród tradycyjnych
metod, kryteriów i wskaźników jakości układów regulacji
umożliwiających dokonanie syntezy parametrycznej regulatorów
dla układów z opóźnieniem znajdują się [1]:
-
Metoda
Zieglera - Nicholsa
-
Kryterium
stabilności aperiodycznej
-
Kryterium
optymalnego modułu
-
Parametry
odpowiedzi skokowej układu
-
Całkowe
wskaźniki jakości
-
Metoda
inwersji dynamicznej
Metody te są
znane i dobrze opisane w literaturze, żadna z nich nie jest
jednak tak prosta w użyciu jak metoda syntezy regulatora w środowisku
Matlab/Simulink przy użyciu NCD Blockset. Użycie NCD
Blockset pozwala ponadto na równie dobrą lub lepszą jakościowo
syntezę regulatora w porównaniu do wyszczególnionych powyżej
metod tradycyjnych.
1.
Opis modelu rozpatrywanego obiektu, cel regulacji
Rozpatrywany jest model układu dynamicznego o
transmitancji:
|

|
(1) |
W celu
otrzymania odpowiedzi skokowej rozpatrywanego modelu dokonano
jego symulacji w Simulinku. Na zamieszczonych poniżej
rysunkach prezentowane są model układu dynamicznego i jego
odpowiedź skokowa na wymuszenie jednostkowe.

Rys.1 Model układu
dynamicznego zrealizowany w Simulinku (model.mdl
- 8kB)

Rys.2
Odpowiedź skokowa symulowanego układu dynamicznego
Z
przebiegu odpowiedzi skokowej na wymuszenie jednostkowe można
odczytać własności eksploatacyjne układu:
-
odpowiedź
ustalona układu (wartość sygnału wyjściowego przy
czasie zmierzającym do nieskończoności)
yust= 0.857
-
uchyb
statyczny (różnica przy czasie zmierzającym do nieskończoności
z wartości sygnału wyjściowego i zadanego)
es= 1 - yust=
0.143
-
odchylenie regulacji
dr ( 3% yust
)
dr=
0.026
-
względne
przeregulowanie C[%] (iloraz amplitud drugiej i pierwszej
w procentach) dla odczytanych wartości
dla A1= 0.653 oraz A2= 0.502
otrzymuje się: C= 76.9[%]
-
czas
regulacji tr (czas, po upływie którego odpowiedź układu
będzie zawierała się w granicach
przedziału yust
dr)
tr= 32.5 [s]
Założone
w tym przypadku cele regulacji to:
wariant
1:
wariant
2:
-
ograniczenie
czasu regulacji (przy dr= 2 %) do wartości poniżej sześciokrotnej wartości występującego w
układzie opóźnienia (czas regulacji <= 2.4
[s]);
-
możliwie
duże zmniejszenie przeregulowania przy jednoczesnym
sprowadzeniu uchybu statycznego do minimalnej wartości.
2.
Synteza regulatora przy wykorzystaniu NCD
2.1 Model w środowisku Matlab/Simulink
Do utworzonego w Simulinku modelu (patrz: rys.1)
dołączono
blok regulatora PID oraz blok NCD Outport. Tak zmodyfikowany
układ przedstawiono na poniższym rysunku.

Rys.3 Model
rozpatrywanego układu dynamicznego zmodyfikowany na potrzeby
syntezy
regulatora PID przy wykorzystaniu NCD Blockset (model1.mdl
- 9kB)
Zastosowano
tutaj blok rzeczywistego regulatora PID, którego
transmitancja w postaci ogólnej wynosi:
|

|
(2) |
Schemat
zastosowanego przy modelowaniu w Simulinku regulatora PID ma
więc postać:

Rys.4 Schemat równoległy
zastosowanego rzeczywistego algorytmu PID
funkcja
przejścia regulatora określona jest zatem następująco:
|

|
(3) |
|
gdzie:
N - współczynnik różniczkowania rzeczywistego. |
|
Wartości
parametrów P I D występujące we wzorze (3) w odniesieniu do
podanego wcześniej modelu rzeczywistego (2) wynoszą:
2.2
Parametry symulacji
Parametry startowe regulatora wpisujemy w postaci symbolicznej
w oknie właściwości bloku regulatora (rys.5
- 8kB) po czym w przestrzeni roboczej programu Matlab zadajemy
ich wartości startowe. Otwieramy następnie
interfejs bloku NCD Outport (podwójne kliknięcie
na bloku) w celu ustalenia wszystkich parametrów syntezy
regulatora. W otwartym oknie widoczne są poziome paski
ograniczeń nałożonych na optymalizowaną charakterystykę
odpowiedzi skokowej, które można za pomocą myszy dowolnie
ustalać. W celu dokładnej edycji położenia paska ograniczeń
możliwe jest określenie jego współrzędnych w oknie podręcznym
otwieranym po kliknięciu prawym przyciskiem myszy na obszarze
paska. Na rysunku poniżej przedstawiono ograniczenia nałożone
na optymalizowaną charakterystykę według założonego wariantu
2 celu regulacji.

Rys.6 Fragment
interfejsu bloku NCD Outport z widocznymi ograniczeniami
nakładanymi przez użytkownika na optymalizowany przebieg
Przed
rozpoczęciem optymalizacji należy ustalić podstawowe parametry
jej przebiegu. Po uruchomieniu opcji Optimization |
Parameters ... otwiera się okno dostosowania parametrów
o następującym znaczeniu:
-
Tunable
Variables - zmienne decyzyjne
czyli poszukiwane parametry układu, zapisywane w postaci
symbolicznej, poszczególne symbole należy oddzielić
spacjami lub przecinkami;
-
Discretization
interval - krok dyskretyzacji -
im większy tym mniej punktów charakterystyki zostaje
wyznaczanych zatem tym szybciej optymalizacja przebiega, w
celu wygładzenia przebiegu optymalizowanej krzywej
odpowiednio zmniejsza się tą wartość w zależności od
całkowitego czasu symulacji. W przypadku optymalizacji
przeprowadzanej dla modeli dyskretnych wartość tego
parametru może stanowić jedynie całkowite wielokrotności
czasu próbkowania.
-
Variable
Tolerance i Constraint
Tolerance - dopuszczalny błąd zmiennych i ograniczeń,
pozostawia się zazwyczaj proponowane wartości 0.001
Rys.7
(10kB) przedstawia okno wprowadzania parametrów z podanymi
wartościami dla omawianego przykładu. Po ustawieniu parametrów
uruchamiamy opcję Options | Initial response inicjując
początkową postać optymalizowanej charakterystyki.
2.3
Przebieg optymalizacji i uzyskane wyniki
Podczas optymalizacji (uruchomienie -
Optimization | Start) w przestrzeni roboczej programu
Matlab wyświetlane są informacje dotyczące przebiegu iteracyjnych
operacji optymalizacji, na bieżąco modyfikowane są również
wartości parametrów zdefiniowanych jako zmienne decyzyjne (Tunable
Variables).
Po
zakończeniu optymalizacji wartości parametrów regulatora uzyskanych
przy nałożonych odpowiednio ograniczeniach wynoszą:
dla wariantu 1: P= 0.4351; I= 0.1087; D=
0.3277; N= 100;
dla wariantu 2: P= 0.5671; I= 0.1390; D= 0.4792; N= 100;
Uzyskane charakterystyki skokowe układu skorygowanego kształtują
się następująco:

Rys.8
Odpowiedź skokowa rozpatrywanego układu z dołączonym
regulatorem PID
o parametrach dobranych w sposób spełniający wymogi regulacji wg wariantu
1
| Odczytane
z powyższego wykresu własności eksploatacyjne: |
| - |
odpowiedź
ustalona układu na skok jednostkowy yust= 1; |
| - |
uchyb statyczny es= 1- yust=
0; |
| - |
odchylenie
regulacji (2%) dr= 0.02; |
| - |
względne
przeregulowanie C= 0 [%] |
| - |
czas
regulacji (dla ustalonego dr) tr= 3.4 [s]. |
|
|

Rys.9
Odpowiedź skokowa rozpatrywanego układu z dołączonym
regulatorem PID
o parametrach dobranych w sposób spełniający wymogi
regulacji wg wariantu 2
| Odczytane
z powyższego wykresu własności eksploatacyjne: |
| - |
odpowiedź
ustalona układu na skok jednostkowy yust= 1; |
| - |
uchyb statyczny es= 1- yust=
0; |
| - |
odchylenie
regulacji (2%) dr= 0.02; |
| - |
względne
przeregulowanie C=
84[%], wartości obu amplitud nie są większe niż
dwuprocentowe odchylenie regulacji. |
| - |
czas
regulacji (dla ustalonego dr) tr= 2.1 [s]. |
|
|
Zestawione
powyżej właściwości eksploatacyjne rozpatrywanych układów
po korekcji w obu przypadkach spełniają postawione wymagania
co do jakości regulacji.
3.
Podsumowanie
Podstawową zaletą omawianego podejścia do syntezy
regulatora PID jest nieporównywalnie mniejszy nakład pracy w
stosunku do metod tradycyjnych oraz fakt, iż metoda ta nie
wymaga od projektanta układu regulacji właściwie żadnego
przygotowania teoretycznego w zakresie syntezy regulatora.
Warunkiem zastosowania tej metody jest obok posiadania
odpowiedniego oprogramowania znajomość modelu matematycznego
rozpatrywanego układu. W przypadku modeli dyskretnych
metodyka doboru parametrów regulatora jest podobna (należy
zwrócić uwagę na prawidłową wartość parametru Discretization
interval
).
Przy
zastosowaniu dla układów z opóźnieniem regulatora PID możliwy
do osiągnięcia czas regulacji nie jest mniejszy od (4..6)to
(gdzie to - czas opóźnienia) [1].
W powyższym przykładzie dobrano regulator, przy zastosowaniu którego
czas regulacji wynosi 5.25to. Dalsze skrócenie czasu
regulacji do wartości teoretycznej 2to możliwe jest
przy zastosowaniu regulatorów specjalnych np. regulatora
Smitha.
Literatura
[1] Z. Jędrzykiewicz
Teoria sterowania układów jednowymiarowych. Kraków:
AGH, 2000
|