Synteza regulatora PID z wykorzystaniem
Nonlinear Control Design Blockset
pakietu Matlab/Simulink

Marcin Maślanka
student V roku, spec. Automatyka i Metrologia, IMiR, AGH

 

Streszczenie - Biblioteka NCD pakietu Matlab/Simulink umożliwia dobór optymalnych parametrów regulatora lub innych poszukiwanych parametrów układu przy wykorzystaniu wbudowanych algorytmów optymalizacji. Na wybranym przykładzie układu ciągłego z opóźnieniem podano metodykę syntezy regulatora PID w tym środowisku. Wykorzystano pakiet Matlab 5.3, Simulink 3.0, NCD Blockset 1.1.3.

 SPIS TREŚCI

Wstęp
1. Opis modelu rozpatrywanego obiektu, cel regulacji
2. Synteza regulatora przy wykorzystaniu NCD
    2.1 Model w środowisku Matlab/Simulink
    2.2 Parametry symulacji
    2.3 Przebieg optymalizacji i uzyskane wyniki
3. Podsumowanie
Literatura

Wstęp

    Metodyka syntezy regulatora PID przy wykorzystaniu NCD Blockset podana zostanie na przykładzie wybranego układu ciągłego z opóźnieniem. Korekty układów z opóźnieniem można z powodzeniem dokonywać regulatorami konwencjonalnymi. Wśród tradycyjnych metod, kryteriów i wskaźników jakości układów regulacji umożliwiających dokonanie syntezy parametrycznej regulatorów dla układów z opóźnieniem znajdują się [1]:

• Metoda Zieglera - Nicholsa

• Kryterium stabilności aperiodycznej

• Kryterium optymalnego modułu

• Parametry odpowiedzi skokowej układu

• Całkowe wskaźniki jakości

• Metoda inwersji dynamicznej

    Metody te są znane i dobrze opisane w literaturze, żadna z nich nie jest jednak tak prosta w użyciu jak metoda syntezy regulatora w środowisku Matlab/Simulink przy użyciu NCD Blockset. Użycie NCD Blockset pozwala ponadto na równie dobrą lub lepszą jakościowo syntezę regulatora w porównaniu do wyszczególnionych powyżej metod tradycyjnych.

1. Opis modelu rozpatrywanego obiektu, cel regulacji

    Rozpatrywany jest model układu dynamicznego o transmitancji:

W celu otrzymania odpowiedzi skokowej rozpatrywanego modelu dokonano jego symulacji w Simulinku. Na zamieszczonych poniżej rysunkach prezentowane są model układu dynamicznego i jego odpowiedź skokowa na wymuszenie jednostkowe.

Rys.1 Model układu dynamicznego zrealizowany w Simulinku (model.mdl - 8kB)
 

Rys.2 Odpowiedź skokowa symulowanego układu dynamicznego

Z przebiegu odpowiedzi skokowej na wymuszenie jednostkowe można odczytać własności eksploatacyjne układu:

• odpowiedź ustalona układu (wartość sygnału wyjściowego przy czasie zmierzającym do nieskończoności)
     y_ust= 0.857

• uchyb statyczny (różnica przy czasie zmierzającym do nieskończoności z wartości sygnału wyjściowego i zadanego)
     e_s= 1 - y_ust= 0.143

• odchylenie regulacji dr ( 3% y_ust )
     dr= 0.026

• względne przeregulowanie C[%] (iloraz amplitud drugiej i pierwszej w procentach) dla odczytanych wartości
     dla A1= 0.653 oraz A2= 0.502 otrzymuje się: C= 76.9[%]

• czas regulacji tr (czas, po upływie którego odpowiedź układu będzie zawierała się w granicach przedziału y_ust dr)
     tr= 32.5 [s]

Założone w tym przypadku cele regulacji to:

wariant 1:

• ograniczenie przeregulowania do zera przy jednoczesnym sprowadzeniu uchybu statycznego do zera;

• możliwie duże ograniczenie czasu regulacji;

wariant 2:

• ograniczenie czasu regulacji (przy dr= 2 %) do wartości poniżej sześciokrotnej wartości występującego w układzie opóźnienia (czas regulacji <= 2.4 [s]);

• możliwie duże zmniejszenie przeregulowania przy jednoczesnym sprowadzeniu uchybu statycznego do minimalnej wartości.

2. Synteza regulatora przy wykorzystaniu NCD
2.1 Model w środowisku Matlab/Simulink

    Do utworzonego w Simulinku modelu (patrz: rys.1) dołączono blok regulatora PID oraz blok NCD Outport. Tak zmodyfikowany układ przedstawiono na poniższym rysunku.

Rys.3 Model rozpatrywanego układu dynamicznego zmodyfikowany na potrzeby syntezy
regulatora PID przy wykorzystaniu NCD Blockset (model1.mdl - 9kB)
 

Zastosowano tutaj blok rzeczywistego regulatora PID, którego transmitancja w postaci ogólnej wynosi:

Schemat zastosowanego przy modelowaniu w Simulinku regulatora PID ma więc postać:

Rys.4 Schemat równoległy zastosowanego rzeczywistego algorytmu PID

funkcja przejścia regulatora określona jest zatem następująco:

Wartości parametrów P I D występujące we wzorze (3) w odniesieniu do podanego wcześniej modelu rzeczywistego (2) wynoszą:

2.2 Parametry symulacji

    Parametry startowe regulatora wpisujemy w postaci symbolicznej w oknie właściwości bloku regulatora (rys.5 - 8kB) po czym w przestrzeni roboczej programu Matlab zadajemy ich wartości startowe. Otwieramy następnie interfejs bloku NCD Outport (podwójne kliknięcie na bloku) w celu ustalenia wszystkich parametrów syntezy regulatora. W otwartym oknie widoczne są poziome paski ograniczeń nałożonych na optymalizowaną charakterystykę odpowiedzi skokowej, które można za pomocą myszy dowolnie ustalać. W celu dokładnej edycji położenia paska ograniczeń możliwe jest określenie jego współrzędnych w oknie podręcznym otwieranym po kliknięciu prawym przyciskiem myszy na obszarze paska. Na rysunku poniżej przedstawiono ograniczenia nałożone na optymalizowaną charakterystykę według założonego wariantu 2 celu regulacji.

Rys.6 Fragment interfejsu bloku NCD Outport z widocznymi ograniczeniami
nakładanymi przez użytkownika na optymalizowany przebieg

Przed rozpoczęciem optymalizacji należy ustalić podstawowe parametry jej przebiegu. Po uruchomieniu opcji Optimization | Parameters ... otwiera się okno dostosowania parametrów o następującym znaczeniu:

• Tunable Variables - zmienne decyzyjne czyli poszukiwane parametry układu, zapisywane w postaci symbolicznej, poszczególne symbole należy oddzielić spacjami lub przecinkami;

• Discretization interval - krok dyskretyzacji - im większy tym mniej punktów charakterystyki zostaje wyznaczanych zatem tym szybciej optymalizacja przebiega, w celu wygładzenia przebiegu optymalizowanej krzywej odpowiednio zmniejsza się tą wartość w zależności od całkowitego czasu symulacji. W przypadku optymalizacji przeprowadzanej dla modeli dyskretnych wartość tego parametru może stanowić jedynie całkowite wielokrotności czasu próbkowania.

• Variable Tolerance i Constraint Tolerance - dopuszczalny błąd zmiennych i ograniczeń, pozostawia się zazwyczaj proponowane wartości 0.001

Rys.7 (10kB) przedstawia okno wprowadzania parametrów z podanymi wartościami dla omawianego przykładu. Po ustawieniu parametrów uruchamiamy opcję Options | Initial response inicjując  początkową postać optymalizowanej charakterystyki.

2.3 Przebieg optymalizacji i uzyskane wyniki

    Podczas optymalizacji (uruchomienie - Optimization | Start) w przestrzeni roboczej programu Matlab wyświetlane są informacje dotyczące przebiegu iteracyjnych operacji optymalizacji, na bieżąco modyfikowane są również wartości parametrów zdefiniowanych jako zmienne decyzyjne (Tunable Variables).

Po zakończeniu optymalizacji wartości parametrów regulatora uzyskanych przy nałożonych odpowiednio ograniczeniach wynoszą:
dla wariantu 1: P= 0.4351; I= 0.1087; D= 0.3277; N= 100;
dla wariantu 2: P= 0.5671; I= 0.1390; D= 0.4792; N= 100;


Uzyskane charakterystyki skokowe układu skorygowanego kształtują się następująco:

Rys.8 Odpowiedź skokowa rozpatrywanego układu z dołączonym regulatorem PID
o parametrach dobranych w sposób spełniający wymogi regulacji wg wariantu 1

Rys.9 Odpowiedź skokowa rozpatrywanego układu z dołączonym regulatorem PID
o parametrach dobranych w sposób spełniający wymogi regulacji wg wariantu 2

    Zestawione powyżej właściwości eksploatacyjne rozpatrywanych układów po korekcji w obu przypadkach spełniają postawione wymagania co do jakości regulacji.

3. Podsumowanie

    Podstawową zaletą omawianego podejścia do syntezy regulatora PID jest nieporównywalnie mniejszy nakład pracy w stosunku do metod tradycyjnych oraz fakt, iż metoda ta nie wymaga od projektanta układu regulacji właściwie żadnego przygotowania teoretycznego w zakresie syntezy regulatora. Warunkiem zastosowania tej metody jest obok posiadania odpowiedniego oprogramowania znajomość modelu matematycznego rozpatrywanego układu. W przypadku modeli dyskretnych metodyka doboru parametrów regulatora jest podobna (należy zwrócić uwagę na prawidłową wartość parametru Discretization interval ).

    Przy zastosowaniu dla układów z opóźnieniem regulatora PID możliwy do osiągnięcia czas regulacji nie jest mniejszy od (4..6)to (gdzie to - czas opóźnienia) [1]. W powyższym przykładzie dobrano regulator, przy zastosowaniu którego czas regulacji wynosi 5.25to. Dalsze skrócenie czasu regulacji do wartości teoretycznej 2to możliwe jest przy zastosowaniu regulatorów specjalnych np. regulatora Smitha.

Literatura

[1] Z. Jędrzykiewicz Teoria sterowania układów jednowymiarowych. Kraków: AGH, 2000